Question

已知函数是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知可得，，
且函数的定义域为D=．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．
因此所求实数b=0． …（3分）
（2）由（1）可知，．
由的图象，
知：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．
∴有 ，
即方程，2x²-2x+1=0，
∵△=4-8＜0，
∴不存在正实数m，n，满足题意．…（7分）
（3）由（1）可知，
．的图象，
知f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m、n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在区间[m，n]上是增函数，
有，
即方程，2x²-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，
因此，
解得． …（10分）
②当m＜n＜0时，f（x）在区间[m，n]上是减函数，
有，
化简得（m-n）a=0，a=0
综上，实数a的取值范围a=0，或a＞．…（12分）
分析：（1）由，知函数的定义域为D=．再由y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．由此能求出b．
（2）由（1）可知，． 由的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，由此推导出不存在正实数m，n，满足题意．
（3）由（1）可知，．的图象，知f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查函数的奇偶性的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．