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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AC=2 ,AA1= ,AB=2,点D在棱B1C1上,且B1C1=4B1D (Ⅰ)求证:BD⊥A1C
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣C的大小.

【答案】证明:(Ⅰ)分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, ∵AC=2 ,AA1= ,AB=2,点D在棱B1C1上,且B1C1=4B1D,
∴B(2,0,0),C(0, ,0),A1(0,0, ),D( ).


∴BD⊥A1C;
(Ⅱ)解:设平面BDA1的一个法向量为
,取z=2,则
设平面A1DC的一个法向量为
,取y=1,得
∴cos< >= =
∴二面角B﹣A1D﹣C的大小为arccos

【解析】(Ⅰ)分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,由已知得到所用点的坐标,求得 的坐标,由两向量的数量积为0说明BD⊥A1C;(Ⅱ)分别求出平面BDA1与平面A1DC的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大小.
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系,掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点即可以解答此题.

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