Question

（08年上虞市质量调测二理） 已知函数=x-klnx,x>0,常数k>0.

(Ⅰ)试确定函数的单调区间；

(Ⅱ)若对于任意x≥1，f(x)>0恒成立，试确定实数的取值范围；

(Ⅲ)设函数F(x)=，求证：F(1)F(2)……F(2n)>2ⁿ(n+1)ⁿ(n∈N*).

Answer 1

解析:（Ⅰ）>0,得x>k; <0,得0<x<k;

故函数F(x)的单调递增区间是(k,+∞), 单调递减区间是(０,k).

(Ⅱ) 若k<1, 函数f(x)在［1,+∞)递增，故只要f(1)=1>0即可。

若k>1, 函数f(x)在［1,k)上递减，在(k,+∞)递增，故只要

f(k)=k-klnk=k(1-lnk)>0,即1<k<e.

故实数的取值范围是(0,e)

（Ⅲ）F(x)=＝，

F(1)F(2)……F(2n)

＝（）（）……（）

因为

（）（）＝（2n-k)(k+1)++ +

>（2n-k)(k+1)+2=2n+2+2nk-k²-k=2n+2+k(2n-k-1)>2n+2(k=0,1,2,…，n-1)

所以

（）（）>2n+2

（）（）>2n+2

……

（）（）>2n+2

……

（）（）>2n+2

相乘，得：

F(1)F(2)……F(2n)

＝（）（）……（）>(2n+2)ⁿ=2ⁿ(n+1)ⁿ.