Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

3

2

，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆G上一点到F₁和F₂的距离之和为12．圆C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点A_k．
（1）求椭圆G的方程
（2）求△A_kF₁F₂的面积
（3）问是否存在圆C_k包围椭圆G？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆的标准方程，然后由椭圆定义知，椭圆G上一点到F₁、F₂的距离之和为12，即2a=12，求得a，再根据离心率为

3

2

，求得c，最后利用椭圆中b²=a²-c²求得b，则椭圆G的方程解决．
（2）先通过圆C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）表示出其圆心A_k的坐标，则其纵坐标2为△A_kF₁F₂的高，而F₁F₂的长度为焦距2c，所以代入三角形面积公式问题解决．
（3）先对k进行分类，再利用特殊点（即椭圆的左右两个顶点）可判定不论k为何值圆C_k都不能包围椭圆G．

解答：解：（1）设椭圆G的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c，
则

2a=12 c a = 3 2

，解得

a=6 c=3 3

，
∴b²=a²-c²=36-27=9
所以椭圆G的方程为：

x2

36

+

y2

9

=1．
（2）由圆C_k的方程知，圆心A_K的坐标为（-k，2），
∴S△AKF1F2=

1

2

×F1F2×2=

1

2

×6

3

×2=6

3

．
（3）若k≥0，由6²+0²+12k-0-21=15+12k＞0可知点（6，0）在圆C_k外，
若k＜0，由（-6）²+0²-12k-0-21=15-12k＞0可知点（-6，0）在圆C_k外；
∴不论k为何值圆C_k都不能包围椭圆G．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程与性质，同时与圆结合考查了圆的部分性质．