Question

本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

（1）设，求与的比值；
（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由

Answer 1

（1）
（2）当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN

（1）因为C₁，C₂的离心率相同，故依题意可设
.
设直线分别和C₁，C₂联立，求得.
当时，，分别用y_A，y_B表示A、B的纵坐标，可知
|BC|:AD|= 
（2）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，即
，
解得.
因为，又，所以，解得.
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN.