【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC.∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=.
∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.
∵AC平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如图,以点C为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),设P(0,0,a)(a>0),
则E,=(1,1,0),=(0,0,a),=.取m=(1,-1,0),则m·=m·=0,m为面PAC的法向量.设n=(x,y,z)为面EAC的法向量,则n·=n·=0,即取x=a,y=-a,z=-2,则n=(a,-a,-2),依题意,|cos〈m,n〉|===,则a=2.于是n=(2,-2,-2),=(1,1,-2).设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sin θ=|cos〈,n〉|==,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
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【题目】下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与方差都不变;
②设有一个回归方程 ,变量x增加一个单位时,y平均增加3个单位;
③线性回归方程 必经过点 ;
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说现有100人吸烟,那么其中有99人患肺病.其中错误的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.求证:
(1)DF⊥AP.
(2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC?若存在,说明G点的位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
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【题目】随机调查某社区80个人,以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关,得到下面的数据表:
休闲方式 | 看电视 | 运动 | 合计 |
男性 | 20 | 10 | 30 |
女性 | 45 | 5 | 50 |
合计 | 65 | 15 | 80 |
(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的男性,设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X,求X的分布列和期望;
(2)根据以上数据,能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:K2= ),其中n=a+b+c+d)
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【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:
(1)E、C、D1、F、四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
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【题目】已知函数 f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x= 处取得最小值,则函数g(x)=f( ﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点( ,0)对称
D.偶函数且它的图象关于点( ,0)对称
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【题目】王先生家住 A 小区,他工作在 B 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1 , L2两条路线(如图),L1路线上有 A1 , A2 , A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;L2路线上有 B1 , B2两个路.各路口遇到红灯的概率依次为 , .若走 L1路线,王先生最多遇到 1 次红灯的概率为;若走 L2路线,王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为 .
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【题目】设m∈R,函数f(x)=ex﹣m(x+1) m2(其中e为自然对数的底数)
(Ⅰ)若m=2,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知实数x1 , x2满足x1+x2=1,对任意的m<0,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,求x1的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)有一个极小值点为x0 , 求证f(x0)>﹣3,(参考数据ln6≈1.79)
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【题目】设函数f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)讨论函数y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)当b=0时,判断函数y= 在(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)设h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值为2,求a+b的取值范围.
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