Question

（2012•吉林二模）设函数f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx （a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；
（Ⅱ）求导函数，并分解，再进行分类讨论，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；
（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得m＞

1

2

-

3

2a

，从而可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，f(x)=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

（5分）
当

1

a-1

=1，即a=2时，f′(x)=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当

1

a-1

＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1；令f′（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1．
当

1

a-1

＞1，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞

1

a-1

；令f′（x）＞0，得1＜x＜

1

a-1

．（7分）
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在(0，

1

a-1

)和（1，+∞）单调递减，在(

1

a-1

，1)上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和(

1

a-1

，+∞)单调递减，在(1，

1

a-1

)上单调递增　（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值．
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=

a

2

-

3

2

+ln2
∴ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2（10分）
而a＞0经整理得m＞

1

2

-

3

2a

由2＜a＜3得-

1

4

＜

1

2

-

3

2a

＜0，所以m≥0．（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围．