Question

4．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，求cos（θ-$\frac{π}{3}$）+cotθ的值．

Answer 1

分析 利用sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求值即可．注意要进行分类讨论．

解答 解∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴（sinθ+cosθ ）²=$\frac{1}{25}$=1+2sinθ cosθ，
∴sinθ cosθ=-$\frac{12}{25}$＜0．
由根与系数的关系知，sinθ，cosθ 是方程x²-$\frac{1}{5}$ x-$\frac{12}{25}$=0的两根，
解方程得x₁=$\frac{4}{5}$，x₂=-$\frac{3}{5}$．
①若sinθ＞0，则cosθ＜0
即sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$．
则cos（θ-$\frac{π}{3}$）+cotθ=cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$+cotθ
=$\frac{1}{2}×$（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=-$\frac{3}{10}$+$\frac{4\sqrt{3}}{10}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{8\sqrt{3}-21}{20}$．
②若sinθ＜0，则cosθ＞0
即cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=-$\frac{3}{5}$．
则cos（θ-$\frac{π}{3}$）+cotθ=cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$+cotθ
=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=$\frac{5}{10}$-$\frac{3\sqrt{3}}{10}$-$\frac{4}{3}$=-$\frac{25+9\sqrt{3}}{30}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，注意三角函数的各象限的三角函数的符号，考查计算能力．注意要进行分类讨论．