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16.已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立,若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(2015)=(  )
A.-2B.0C.2D.2015

分析 先由函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,得函数f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,在已知条件中令x=-1可求f(1)及函数的周期,利用所求周期即可求解.

解答 解:∵函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,
∴由函数的图象的平移可知函数y=f(x)关于x=0对称,即函数为偶函数
∵f(x+2)=f(x)+f(1)
令x=-1可得
f(1)=f(-1)+f(1),
∴f(-1)=f(1)=0,
从而可得f(x+2)=f(x),
即函数是以2为周期的周期函数
∴f(2015)=f(1)=0,
故选:B.

点评 本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值,由图象判断函数的奇偶性,函数的周期的求解是求解本题的关键,属于基础题.

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