Question

长沙市将河西作为环境友好型和资源节约型的两型社会先导区，为加强先导区的建设，要改造枫林路，如图所示，规划沿路修建圆形休闲广场，圆心为O，半径为100米，其与枫林路一边所在的直线l相切于M点，A为上半圆弧上一点．过点A作l的垂线，垂足为B，市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S（单位：平方米）
（I）以∠AON=θ（rad）为参数，将S表示成θ的函数；
（II）为使绿化的面积最大，试确定此时点A的位置及其最大的面积．

Answer 1

解：（I）BM=AOsinθ=100sinθ，AB=MO-AOcosθ=100-100cosθ θ∈（0，π）
则S=MB•AB=×100sinθ×（100-100cosθ）
=5000sinθ（1-cosθ）
（II）s′=5000（2cos²θ-cosθ-1）=5000（2cosθ-1）（cosθ-1）
令S′=0得cosθ=，cosθ=-1（舍去），此时θ=
当θ∈时，S′＞0；
∴当θ=时，S取得极大值，即S_最大值=3750
答：当AO与ON成60°角时，绿化面积最大，最大面积为3750m²
分析：（I）利用三角函数的定义求出BM，AB的长，利用三角形的面积公式求出△ABM的面积S
（II）对S求导，令导函数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出S的最大值．
点评：本题考查三角函数的定义、利用导数求函数的最值：求导函数；令导函数等于0求根；判断根左右两边的符号求出极值．