Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知${a_1}=1，{a_{n+1}}=3{S_n}+1，n∈{N^*}$．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，求出数列a₂，a₃的值．
（2）利用通项公式与数列和的关系式，得到数列是等比数列，然后求解通项公式．

解答 解：（1）由题意，a₁=1，a_n+1=3S_n+1，所以 a₂=3a₁+1=4，a₃=3（a₁+a₂）+1=3（1+4）+1=16．
（2）由a_n+1=3S_n+1，则当a≥2时，a_n=3S_n-1+1，两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2），
又因为${a_1}=1，{a_2}=4，\frac{a_1}{a_2}=4$，所以数列{a_n}是以首项为1，公比为4等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式是${a_n}={4^{n-1}}（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，通项公式的求法，考查计算能力．