Question

直线l：y=-2，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上、下顶点为A、B，点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，如图所示．
（1）设AP所在的直线的斜率为k₁，BP所在的直线的斜率为k₂，试求k₁•k₂的值（用a，b表示）；
（2）设椭圆的离心率为

3

2

，且过点A（0，1）．
①求MN的最小值；
②记以MN为直径的圆为圆C，随着点P的变化，圆C是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定足，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的斜率

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆上点P（x₀，y₀）满足椭圆的方程，求出直线AP、BP的斜率k₁、k₂的表达式，计算出k₁k₂的值；
（2）先根据题意求出椭圆的方程，再利用（1）中的结论求出①中MN的最小值；
②写出以MN为直径的圆的方程，根据图形的对称性知，以MN为直径的圆过定点在y轴上，令x=0，求出y的值即可得出定点来．

解答： 解：（1）∵椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
椭圆上点P为（x₀，y₀），则

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴

x02

a2

=1-

y02

b2

=-

y02-b2

b2

，即

y02-b2

x02

=-

b2

a2

；
∴k1k2=

y0-b

x0

•

y0+b

x0

=

y02-b2

x02

=-

b2

a2

；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由题意知e=

c

a

=

3

2

，b=1，
即a²-c²=1，联立方程解得a=2；
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
①由（1）知k_BM•k_AN=k_PB•k_AN=-

1

4

，
∵k_BM•k_AN=

-1

x1

•

-3

x1x2

，
∴x₁x₂=-12；
此时不妨设x₁＜0，
此时MN=|x₁-x₂|=x₂-x₁=x₂+

12

x2

≥2

x2• 12 x2

=4

3

，
当且仅当x₂=-x₁=2

3

时取“=”；
∴MN的最小值是4

3

；
②以MN为直径的圆的方程为（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0，
由图形的对称性知，如果以MN为直径的圆过定点，则定点在y轴上，
此时令（x-x₁）（x-x₂）+（y+2）²=0中x=0，
得（y+2）²=-x₁x₂=12，∴y=-2±2

3

；
即以MN为直径的圆是圆C，随着点P的变化，圆C恒过定点（0，-2±2

3

）．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义与几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是综合题，属于难题．