Question

【题目】已知函数 .
（1）若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围；
（2）若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

由 ，得 . ，当 时， ，要使 恒成立，只需 ，解得 .

当 时， ，要使 恒成立，只需 ，矛盾.

综上 的取值范围是 .

（2）解：

，

要使 恒成立，只需 ，

则 ，因为 ， ，

所以只需 恒成立，则所求的m的取值范围为 .

【解析】(1)利用二倍角公式和两角和差的正弦公式整理已知的代数式得到f(x) 的解析式，结合已知条件给出的取值范围根据正弦型函数的最值情况可得出 f ( x 1) ∈ [ 0 , 2 ]，同理可得出当 m ≥ 0 时， g ( x2 ) ∈ [ 2 m + 2 , m + 2 ] ，由已知要满足题意中的恒成立则有0 ≥ m + 2，解出m的取值范围即可。(2)同理结合二倍角的余弦公式整理原函数的代数式得到f(x) 的最简形式，根据题意f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立得到关于cos(x+）的不等式借助角的取值范围结合余弦函数的最值求出cos(x+）的取值范围，进而得到要满足 m > 2 [cos(x+） + 1 ] 恒成立所以m ≥ 3 .
【考点精析】解答此题的关键在于理解二倍角的正弦公式的相关知识，掌握二倍角的正弦公式：，以及对二倍角的余弦公式的理解，了解二倍角的余弦公式：．