Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列3个集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}
②M={（x，y）|y=cosx}
③M={（x，y）|y=e^x-2}
其中所有“好集合”的序号是（　　）

A．①②

B．②③

C．③

D．①②③

Answer 1

分析：对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于③画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；

解答：解：对于①y=

1

x

是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不满足好集合的定义，不是好集合．
对于②M={（x，y）|y=cosx}，如图（2）对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（

π

2

，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以M是好集合；
对于③M={（x，y）|y=e^x-2}，如图（3）红线的直角始终存在，例如取M（0，-1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．
故选B．

点评：本题考查好集合的定义，画出函数的图象，注意到对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查．