Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求三棱锥E-ADC的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中AD⊥平面ABE，AD∥BC，得到BC⊥平面ABE，即AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，即BF⊥AE，再由线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE；
（2）连接GF，由已知BF⊥平面ACE，我们易得GF∥AE，由线面平行的判定定理，可以得到AE∥平面BFD；
（3）由已知可得三棱锥E-ADC的体积等于三棱锥E-ABC的体积，求出三棱锥E-ABC的体积，即可得到棱锥E-ADC的体积．

解答：解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．（2分）
又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE（4分）
（2）连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F为EC的中点；
∵矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，
∴GF∥AE，（7分）
∵GF?平面BFD，AE?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．（8分）
（3）∵三棱锥E-ADC的体积等于三棱锥E-ABC的体积
∵V_E-ABC=

1

3

•BC•SABE=

4

3

故棱锥E-ADC的体积为

4

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，及直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间中直线与平面的平行及垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．