【题目】已知椭圆方程为,和分别是椭圆的左右焦点.
①若P是椭圆上的动点,延长到M,使,则M的轨迹是圆;
②若是椭圆上的动点,则;
③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切;
④点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点三角形的面积为
以上说法中,正确的有( )
A.①③④B.①③C.②③④D.③④
【答案】A
【解析】
利用椭圆的定义,判断①是否正确;利用椭圆的几何性质,判断②是否正确;根据两个圆的位置关系,判断③是否正确;利用椭圆的定义,结合余弦定理、三角形面积公式,计算出椭圆的焦点三角形的面积,由此判断④是否正确.
对于①,根据椭圆的定义可知,所以,也即到的距离为定值,故的轨迹是圆,所以①正确.
对于②,当为左顶点时,,当为右顶点时,,所以,所以②错误.
对于③,以为直径的圆,圆心为,半径是.以长轴为直径的圆,圆心为,半径为.连接,则是三角形的中位线,由于,所以,即两圆圆心角等于两圆半径之差,故两个圆内切,故③正确.
对于④,设,依题意(*),由余弦定理得(**),而三角形的面积为(***),将(*)、(**)、(***)联立化简得,.故④正确.所以正确的为①③④.
故选:A.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,斜率为的直线经过点.
(I)求曲线的普通方程和直线的参数方程;
(II)设直线与曲线相交于,两点,求线段的长.
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【题目】某中学的高二(1)班男同学名,女同学名,老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组.
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选名同学做实验,求选出的两名同学中恰有名女同学的概率;
(3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为,第二次做实验的同学得到的实验数据为,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.
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【题目】下列命题正确的有________(填序号)
①已知或,,则p是q的充分不必要条件;
②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件;
③中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,则“”是“为等腰三角形”的必要不充分条件;
④若命题“函数的值域为”为真命题,则实数a的取值范围是.
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【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异。”意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线,直线为曲线在点处的切线.如图所示,阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形,记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体:
① ② ③ ④
图①是底面直径和高均为的圆锥;
图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;
图③是底面边长和高均为的正四棱锥;
图④是将上底面直径为,下底面直径为,高为的圆台挖掉一个底面直径为,高为的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理,以上四个几何体中与的体积相等的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【题目】据《人民网》报道,“美国国家航空航天局( NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的42%来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)
单位:公顷
造林方式 | ||||||
地区 | 造林总面积 | 人工造林 | 飞播造林 | 新封山育林 | 退化林修复 | 人工更新 |
内蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 135107 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重庆 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陕西 | 297642 | 33602 | 63865 | 16067 | ||
甘肃 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
宁夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 |
(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少?
(Ⅲ)在这十个地区中,从新封山育林面积超过五万公顷的地区中,任选两个地区,记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数,求X的分布列及数学期望.
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