Question

4．对于数列{a_n}，若?m，n∈N^*（m≠n），都有$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$≥t（t为常数）成立，则称数列{a_n}具有性质P（t）．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，且具有性质P（t），则t的最大值为2；
（2）若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²-$\frac{a}{n}$，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{{2}^{m}-mt-（{2}^{n}-nt）}{m-n}$≥0，即数列{2ⁿ-nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；
（2）由题意可得$\frac{{m}^{2}-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥10，即有$\frac{{m}^{2}-10m-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-10n-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥0，即为数列{n²-10n-$\frac{a}{n}$}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{{2}^{m}-{2}^{n}}{m-n}$≥t恒成立，即有
$\frac{{2}^{m}-mt-（{2}^{n}-nt）}{m-n}$≥0，
即数列{2ⁿ-nt}单调递增，
即有2ⁿ⁺¹-（n+1）t-（2ⁿ-nt）≥0，即t≤2ⁿ，
由于2ⁿ的最小值为2，则t≤2．
故t的最大值为2；
（2）由题意可得$\frac{{m}^{2}-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥10，
即有$\frac{{m}^{2}-10m-\frac{a}{m}-（{n}^{2}-10n-\frac{a}{n}）}{m-n}$≥0，
即为数列{n²-10n-$\frac{a}{n}$}为单调递增，
即有（n+1）²-10（n+1）-$\frac{a}{n+1}$-（n²-10n-$\frac{a}{n}$）≥0，
即为-a≤n（n+1）（2n-9），
由f（n）=n（n+1）（2n-9），n=3时，取得最小值-36，
则-a≤-36，
即有a≥36．
故答案为：2，[36，+∞）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．