Question

16．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx与cosx分别是一元二次方程25x²+5x-12=0的两实根．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得sinx＜0，cosx＞0，解方程25x²+5x-12=0，求出sinx，cosx，由此能求出sinx-cosx的值．
（2）先求出tanx，再由二倍角公式能求出$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$的值．

解答 解：（1）∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx与cosx分别是一元二次方程25x²+5x-12=0的两实根，
∴sinx＜0，cosx＞0，解方程25x²+5x-12=0，得sinx=-$\frac{4}{5}$，cosx=$\frac{3}{5}$，
∴sinx-cosx=-$\frac{4}{5}-\frac{3}{5}$=-$\frac{7}{5}$．
（2）∵sinx=-$\frac{4}{5}$，cosx=$\frac{3}{5}$，∴tanx=$\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{2sinxcosx+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$
=$\frac{2×（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}+2（-\frac{4}{5}）^{2}}{1+\frac{4}{3}}$
=$\frac{24}{175}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和二倍角公式的合理运用．