Question

12．设函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；          
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域，然后求解函数的导数，通过导函数大于0，小于0，即可判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）通过f（x）在区间[0，1]上的单调性，直接求解函数的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-$\frac{3}{2}$，+∞）…（1分）
f′（x）=$\frac{2}{2x+3}$+2x=$\frac{4（x+1）（x+\frac{1}{2}）}{2x+3}$，…（4分）
当f'（x）＞0时，解得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$；…（5分）
当f'（x）＜0时，解得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$…（6分）
所以函数f（x）在（-$\frac{3}{2}$，-1），（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上是减函数…（8分）
（Ⅱ）因为f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f（x）_max=f（1）=ln5+1，
f（x）_min=f（0）=ln3…（12分）

点评 本题考查函数的单调性的判断函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．