Question

（2012•长春一模）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2，

π

3

)．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）P是圆C上一动点，点Q满足3

OP

=

OQ

，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

分析：（1）设M（ρ，θ）是圆C上任一点，过C作CH⊥OM于H点，则在RT△COH中，OH=OCsin∠COH能够进一步得出得出ρ，θ的关系．
（2）设Q的极坐标为（ρ，θ），所以点P的极坐标为（

1

3

ρ，θ），将P的坐标代入（1）中方程，再化为直角坐标方程．

解答：解：（1）设M（ρ，θ）是圆C上任一点，过C作CH⊥OM于H点，则在RT△COH中，OH=OCsin∠COH，而∠COH=∠COM=|θ-

π

3

|，
OH=

1

2

OM=

1

2

ρ，OC=2，所以

1

2

ρ=2cos|θ-

π

3

|，即ρ=4cos（θ-

π

3

）为圆C的极坐标方程．
（2）设Q的极坐标为（ρ，θ），由于3

OP

=

OQ

，所以点P的极坐标为（

1

3

ρ，θ），代入（1）中方程得

1

3

ρ=4cos（θ-

π

3

）
即ρ=6cosθ+6

3

sinθ，∴ρ²=6ρcosθ+6

3

ρsinθ，
所以点Q的轨迹的直角坐标方程为x²+y²-6x-6

3

y=0．

点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化，“相关点”法求轨迹方程，考查转化、计算能力．