Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从1，2，3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[1，4]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共12个，当a＞0，b＞0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到结果．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3}．构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3，a≥b}．根据几何概型公式得到结果．

解答：解：设事件A为“方程a²+2ax+b²=0有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b．
（Ⅰ）基本事件共12个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）（4，3），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，
事件A发生的概率为P(A)=

9

12

=

3

4

．
（Ⅱ）试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3}．
构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，1≤b≤3，a≥b}．
所以所求的概率为=

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

．

点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题．