Question

已知函数f（x）=x²+（2k-3）x+k²-7的零点分别是-1和-2
（1）求k的值；
（2）若x∈[-2，2]，则f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x²+（2k-3）x+k²-7的零点分别是-1和-2，∴-1和-2是x²+（2k-3）x+k²-7=0的根，
∴-1+（-2）=3-2k，解得 k=3．
（2）由（1）可得 函数f（x）=x²+3x+2，由于x∈[-2，2]时，f（x）＜m恒成立，
故m大于函数f（x）=x²+3x+2 在[-2，2]上的最大值．
再由函数f（x）=x²+3x+2 在[-2，2]上的最大值为f（-）=-，故m＞-，
即m的取值范围为（-，+∞）．
分析：（1）由题意可得-1和-2是x²+（2k-3）x+k²-7=0的根，利用一元二次方程根与系数的关系求出k的值．
（2）由（1）可得 函数f（x）=x²+3x+2，m大于函数f（x）=x²+3x+2 在[-2，2]上的最大值f（-），由此求得m的取值范围．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，一元二次方程根与系数的关系，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题．