Question

已知点F₁，F₂的坐标分别是（-3，0）、（3，0），动点M满足△MF₁F₂的周长为16，
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若线段PQ是轨迹C上过点F₂的弦，求△PQF₁的内切圆半径最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|，得M的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得2a=10，c=3，又b²=a²-c²．解出即可．
（2）设过点F₂的直线方程：x=my+3，与椭圆联立方程组消去x得：（16m²+25）y²+96my-256=0，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=160•

m2+1 (16m2+25)2

，令t=m²+1，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由题意得|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|，得M的轨迹是椭圆，
设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴2a=10，c=3，
∴b²=a²-c²=16．
即动点M的轨迹方程是：

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）设过点F₂的直线方程：x=my+3，与椭圆联立方程组消去x得：
（16m²+25）y²+96my-256=0，
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

-96m

16m2+25

，y₁y₂=

-256

16m2+25

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -96m 16m2+25 )2- 4×(-256) 16m2+25

=160•

m2+1 (16m2+25)2

，
令t=m²+1，则|y₁-y₂|=160•

1 (16t+9)2 t

=160×

1 256t+ 81 t +288

≤

32

5

，
在t=1时，上式取到最小值，即m=0，此时PQ⊥x轴，且|PQ|=

32

5

．
此时△P F₁Q的面积达到最大值S△PQF1=

1

2

|F1F2|•|PQ|=

96

5

，
由于△PQF₁的周长是定值20，所以当面积取最大值时，内切圆半径有最大值

48

25

．

点评：本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、基本不等式的性质、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了三角形的内切圆问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．