Question

【题目】椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）-8

【解析】试题（1）根据题意可得又因为，所以可得a，b的值，即可得方程；（2）设出点p坐标，由两点式列出直线方程，然后利用点m到两直线的距离相等来确定m值，再根据p点，横坐标的范围，来确定m范围；（3）设直线方程为与椭圆方程联立，需满足求得，由（2）可知，代入化简即可

试题解析：（1）由于

由题意知

又

（2）设

由题意知

由于点P在椭圆上，所以

所以

（3）设则直线l的方程为

联立

由题意得

又

由（2）知

所以

因此