Question

已知a，b，c均为大于0的实数，设命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边，命题Q：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），则P是Q的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】分析：分别讨论命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边⇒命题Q：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），及命题Q：a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）⇒命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边的真假，进而根据充要条件的定义，即可得到答案．
解答：解：若命题P：以a，b，c为长度的线段可以构成三角形的三边，为真命题
则根据三角形任意两边之长大于第三边，则
2（ab+bc+ca）=ab+bc+ab+ca+bc+ca=b（a+c）+a（b+c）+c（b+a）＞a²+b²+c²
即P是Q的充分条件
当a=1，b=2，c=3时，a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca）成立，但以a，b，c为长度的线段可以构不成三角形的三边，
故P是Q的不必要条件
故选A．
点评：本题考查的知识点是充要条件，其中判断命题P⇒命题Q，及命题Q⇒命题P的真假，是解答本题的关键．