Question

（07年北师大附中） 已知f (x ) = x³ + bx² + cx + d在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f (x ) = 0有三个根，它们分别为α，2，β.

（1）求c的值；

（2）求证：f (1 )≥2.

Answer 1

解析：（1）(x) = 3x² + 2bx + c，

∵ f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，

∴ x = 0时，f (x )取到极大值.

∴ (0 ) ＝ 0，∴ c = 0.

（2）∵ f (2 ) = 0，∴ d =－4 (b +2)，(x ) = 3x² + 2bx = 0的两个根分别为x₁ = 0，x₂ =－，

∵ 函数f (x )在[0，2]上是减函数，∴ x₂ =－≥2.

∴ b≤－3，∴ f (1 ) = b + d + 1 = b－4 (b +2) + 1 = －7－3b≥2.