Question

若以点F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点的双曲线C过直线l：x+y-1=0上一点M，则能使所作双曲线C的实轴长最长时的双曲线方程为（　　）

• A、x2-

  y2

  3

  =1
• B、

  x2

  2

  -

  y2

  2

  =1
• C、

  x2

  7 2

  -

  y2

  1 2

  =1
• D、

  x2

  5 2

  -

  y2

  3 2

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1，0＜a＜2，联立

x2 a2 - y2 4-a2 =1 x+y=1

，得（4-2a²）x²+2a²x+a⁴-5a²=0，由此利用根的判别式能求出实轴最长的双曲线C的方程．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1，0＜a＜2，
联立

x2 a2 - y2 4-a2 =1 x+y=1

，得（4-2a²）x²+2a²x+a⁴-5a²=0，
∵F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点M，
∴△=4a⁴-4（4-2a²）（a⁴-5a²）≥0，
解得a²≤

5

2

，或a²≥4（舍）
∴实轴长为2a，最大为

10

，
∵c=

1

2

|F₁F₂|=2，
∴b²=c²-a²=

3

2

，
∴实轴最长的双曲线C的方程为

x2

5 2

-

y2

3 2

=1．
故选D．

点评：本题考查实轴最长的双曲线方程的求法，是中档题，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．