Question

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；
（III）设函数h（x）=g（x）+x-k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意，令△=a²-4a=0，解得a=0或4．再分别验证是否符合条件即可；
（II）g（x）=xf（x）=x³-4x²+4x，g′（x）=3x²-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=

2

3

或2．
列表如下：即可得出极值．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x³-4x²+5x-k，
∴h′（x）=3x²-8x+5，令h′（x）=0，解得x=

5

3

或1．
可知h（x）_极大值=h（1），h(x)极小值=h(

5

3

)．
由题意h（x）存在3个零点，则

h(1)＞0 h( 5 3 )＜0

，解出即可．

解答：解：（I）由题意，令△=a²-4a=0，解得a=0或4．
当a=0时，f（x）=x²，在（0，+∞）单调递增，不符合题意；
当a=4时，f（x）=（x-2）²，在区间（0，2）上单调递减，符合题意．
∴f（x）=x²-4x+4．
（II）g（x）=xf（x）=x³-4x²+4x，g′（x）=3x²-8x+4，
令g′（x）=0，解得x=

2

3

或2．
列表如下：∴g(x)极大值=g(

2

3

)=

32

27

，g（x）_极小值=g（2）=0．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x³-4x²+5x-k，
∴h′（x）=3x²-8x+5，令h′（x）=0，解得x=

5

3

或1．
可知h（x）_极大值=h（1），h(x)极小值=h(

5

3

)．
由题意h（x）存在3个零点，则

h(1)＞0 h( 5 3 )＜0

，解得

50

27

＜k＜2．
所以实数k的取值范围是(

50

27

，2)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点等是解题的关键．