Question

17．已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）若函数y=f（x）在（0，2）上有两个零点x₁=α，x₂=β，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$＜4．

Answer 1

分析 （1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之．
（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性，即可求出k的取值范围，
（3）根据（2）即可证明．

解答 解：（1）当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2x-1，x≥1或x≤-1}\\{2x+1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$
∴2x²+2x-1=0或2x+1=0，
解得x=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，x=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$（舍去），x=-$\frac{1}{2}$，
故方程为解为-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$和-$\frac{1}{2}$
（2）：不妨设0＜α＜β＜2，因为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+kx-1，|x|＞1}\\{kx+1，|x|≤1}\end{array}\right.$，
所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解．
若 1＜x₁＜x₂＜2，则αx₁x₂=-$\frac{1}{2}$＜0，故不符题意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，所以k≤-1． 由f（x₂）=0得，k=$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂，
所以-$\frac{7}{2}$＜k＜-1，
故当-$\frac{7}{2}$＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，
故所求的k的范围是（-$\frac{7}{2}$，-1）．
（3）由于当0＜x₁≤1＜x₂＜2时，k=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，2x₂²+kx₂-1=0，
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，∴x₁+x₂=2x₁x₂²，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2x₂．
∵1＜x₂＜2，∴2＜2x₂＜4，∴2＜$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＜4，
故$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$＜4．

点评 本题主要考查的高考考点：函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识；易错点：解析问题的能力较差，分类讨论的问题考虑不全面．备考提示：本题还考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法解析和解决问题的能力，属于中档题．