Question

已知动圆C与定圆C3：

x

2

+2x+

y

2

+

3

4

=0相外切，与定圆C2：

x

2

-2x+

y

2

-

45

4

=0内相切．
（1）求动圆C的圆心C的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+l（k≠0）与C的轨迹交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(

1

8

，0)，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由动圆C与定圆C3：

x

2

+2x+

y

2

+

3

4

=0相外切，与定圆C2：

x

2

-2x+

y

2

-

45

4

=0内相切，结合两圆之间位置关系的性质，可得C到C₃和C₂的和为定值，进而由椭圆的定义得到C的轨迹方程；
（2）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆的标准方程，利用韦达定理求出M，N的坐标，代入MN的垂直平分线方程，可求出k值．

解答：解：（1）∵C3：

x

2

+2x+

y

2

+

3

4

=0的方程可化为(

x+1)

2

+

y

2

=(

1

2

)2
圆C2：

x

2

-2x+

y

2

-

45

4

=0的方程可化为

(x-1)

2

+

y

2

=(

7

2

)2
设动圆C的半径为r，则
|CC₃|=

1

2

+r，|CC₂|=

7

2

-r，
∴|CC₃|+|CC₂|=4
∴C的轨迹是以C₃和C₂为焦点，长轴为4的椭圆
∴C的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+1

消去y并整理得
（3+4k²）x²+8kx-8=0
则x₁+x₂=

-8k

3+4k2

，x₁•x₂=

-8

3+4k2

则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

6

3+4k2

则线段MN的中点P的坐标为（

-4k

3+4k2

，

3

3+4k2

）
由线段MN的垂直平分线过定点G(

1

8

，0)，
设MN的垂直平分线l的方程为y=-

1

k

（x-

1

8

）
∵P点在l上
∴

3

3+4k2

=-

1

k

（

-4k

3+4k2

-

1

8

）
即4k²+8k+3=0
解得k=-

1

2

，或k=-

3

2

点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，直线与椭圆的位置关系，其中根据已知求出C的轨迹方程是解答的关键．