Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．
（1）求c的值；
（2）求

b

a

的取值范围；
（3）当b=3a时，求使A={y|y=f（x），-3≤x≤2}，A⊆[-3，2]成立的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导函数，由题意得f'（0）=0即可得到c=0；
（2）由（1）得，f'（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零点为x=0或x=-

2b

3a

，再根据f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上的单调且单调性相反，列出不等式组，化简得-4≤-

2b

3a

≤-2，故3≤

b

a

≤6；
（3）将b=3a代入到f'（x）中，化简得f'（x）的零点为x=0或-2，讨论当a＞0和当a＜0时f'（x）的情况，可以得出两种情况下f（x）在区间[-3，2]上的取值范围，最后根据不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化简即得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，f'（x）=3ax²+2bx+c，f（x）在x=0有极值，
∴f'（0）=0即c=0
（2）f'（x）=3ax²+2bx，由f'（x）=x（3ax+2b）=0，
得x=0或x=-

2b

3a

f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反-4≤-

2b

3a

≤-2，故3≤

b

a

≤6．
（3）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，f（-2）=-8a+12a+d=0，d=-4af（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）由f'（x）=0得x=0或x=-2
①当a＞0时

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以 当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a
②当a＜0时

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	-4a	↘	0	↗	-4a	↘	16a

所以 当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a
得

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

即0＜a≤

1

8

或-

3

16

≤a＜0故 a的取值范围是(0，

1

8

]∪[-

3

16

，0)．

点评：本题主要考查利用导数求函数的极值，考查方程根的讨论，属于中档题．着重考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件．