Question

10．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 4π
• C． 8π
• D． 20π

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$，可得球的半径R，由此能求出该三棱锥外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{2}{3}\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，
故球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=8π，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$，是解答的关键．