Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且准线方程为x=-1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A，B两点，如果要同时满足：①|AB|≤8；②直线l与椭圆3x²+2y²=2有公共点，试确定直线l倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可设抛物线C的方程为y²=2px，（p＞0），已知准线方程为x=-1，可得-

p

2

=-1，即可解得p；
（2）由抛物线C的标准方程y²=4x，可得焦点F（1，0）．设直线l倾斜角为α，以下分类讨论：
（i）当直线l⊥x轴时，弦长|AB|=2p=4．满足：联立

x=1 3x2+2y2=2

，无解，因此不满足条件直线l与椭圆3x²+2y²=2有公共点，故直线l倾斜角α≠

π

2

．
（ii）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．（k≠0）．与抛物线的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p≤8，得到k的一个范围；与椭圆的方程联立得到△≥0，由得到k的一个范围，与上面的联立即可得出，进而得到α的取值范围．

解答：解：（1）由题意可设抛物线C的方程为y²=2px，（p＞0），∵准线方程为x=-1，∴-

p

2

=-1，解得p=2．
∴抛物线C的标准方程为y²=4x；
（2）由抛物线C的标准方程y²=4x，可得焦点F（1，0）．
设直线l倾斜角为α，以下分类讨论：
（i）当直线l⊥x轴时，弦长|AB|=2p=4．满足：①|AB|≤8；
②联立

x=1 3x2+2y2=2

，无解，因此不满足条件直线l与椭圆3x²+2y²=2有公共点，故直线l倾斜角α≠

π

2

．
（ii）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．（k≠0）．
联立

y=k(x-1) y2=4x

，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0．∴x1+x2=

2k2+4

k2

，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

2k2+4

k2

+2≤8，化为k²≥1．①
联立

y=k(x-1) 3x2+2y2=2

，化为（3+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若直线l与椭圆3x²+2y²=2有公共点，则△=16k⁴-4（3+2k²）（2k²-2）≥0，化为k²≤3，②．
联立①②可得：1≤k²≤3，解得-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

．
∴

2π

3

≤α≤

3π

4

或

π

4

≤α≤

π

3

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、△≥0、直线的斜率与倾斜角的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．