Question

抛物线y²=2px（p＞0）的通径为BC，准线l与对称轴交于A，且F为抛物线的焦点
（1）求证：△ABC为等腰直角三角形；
（2）若p=

2

+1，求△ABC内切圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,作图题,证明题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意作图，由BC是抛物线y²=2px（p＞0）的通径可知BC⊥AF，F是BC的中点，且BC=2p；再由AF=p可证；
（2）设△ABC内切圆的半径为r，则AF=AD+DF=（

2

+1）r=

2

+1；从而求得r=1；从而写出圆的方程．

解答： 解：（1）证明：如图，∵BC是抛物线y²=2px（p＞0）的通径，
∴BC⊥AF，F是BC的中点，且BC=2p；
且准线l与对称轴交于A，
故AF=p；
故：△ABC为等腰直角三角形；
（2）如图，设△ABC内切圆的半径为r，
则DF=r，AD=

2

r；
故AF=AD+DF=（

2

+1）r=

2

+1；
故r=1；
则点D的横坐标为

2 +1

2

-1=

2 -1

2

；
故点D（

2 -1

2

，0）；
故△ABC内切圆的方程为
（x-

2 -1

2

）²+y²=1．

点评：本题考查了抛物线的性质应用与学生的作图能力，属于中档题．