【题目】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设为椭圆右顶点,过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于,两点(异于),直线,分别交直线于,两点. 求证:,两点的纵坐标之积为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出后可得椭圆方程.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在,计算可得两点的纵坐标之积为.当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,,则,联立直线方程和椭圆方程,消去后利用韦达定理化简后可得定值.
解:(Ⅰ)因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切,
所以半径等于原点到直线的距离,,即.
由离心率,可知,且,得.
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在,则直线方程为,
所以.
则直线的方程为,直线的方程为.
令,得,.
所以两点的纵坐标之积为.
若直线的斜率存在,设直线的方程为,
由得,
依题意恒成立.
设,
则.
设,
由题意三点共线可知,
所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.
所以
综上,两点的纵坐标之积为定值.
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【题目】由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合图,下列说法不正确的是( )
A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓
C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
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【题目】已知椭圆的焦距为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,是否存在k使得点A关于l的对称点B(不同于点A)在椭圆C上?若存在求出此时直线l的方程,若不存在说明理由.
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【题目】在中,,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,连接,如图:
(1)证明:平面平面
(2)求平面与平面所成二面角的大小.
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【题目】为了解全市统考情况,从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩,频率分布直方图如下图所示.
(1)求这4000名考生的半均成绩(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布,其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差,那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人?
(3)如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况,现从全市考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为,求.(精确到0.001)
附:①;
②,则;
③.
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【题目】十九世纪末,法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”,即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少?”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法,但结果都不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身,强烈地刺激了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下:设A为圆O上一个定点,在圆周上随机取一点B,连接AB,所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率.则由“随机端点”求法所求得的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知椭圆的短轴长为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线平行于直线,且与椭圆交于两个不同的点,若为钝角,求直线在轴上的截距的取值范围.
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【题目】甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏,方法如下:第一步:先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子(如图所示),甲从中记下某个棋子的坐标;第二步:甲分别告诉其他三人:告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标,告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等;第三步:由乙、丙、丁依次回答.对话如下:“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____.
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