Question

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=PA=1，E为PD的中点，点N在面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到AB的距离为$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点N到AB的距离．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}，1，0$），D（0，1，0）、P（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
由于点N在侧面PAC内，故可设N（x，x，z），
则$\overrightarrow{NE}$=（-x，$\frac{1}{2}-x，\frac{1}{2}-z$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
∵NE⊥平面PAC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}-z=0}\\{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}-x=0}\\{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}-x-（\frac{1}{2}-z）=0}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，z=$\frac{1}{2}$，∴N（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴点N到AB的距离d=|$\overrightarrow{AN}$|•$\sqrt{1-[cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}＞]^{2}}$=$\frac{\sqrt{3-\sqrt{3}}}{2}$•$\sqrt{1-（\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3-\sqrt{3}}}{2}•\sqrt{3}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{3}}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10-4\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．