Question

在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求动点Q的轨迹的方程；
（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点R（3，0）．

Answer 1

分析：（1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．
（2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，直线l的方程为：x=-1，设直线l与x轴交于点K（-1，0），由OK平行于直线l可得，
OR是△FPK的中位线，故点R是线段FP的中点．
又RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∴|PQ|是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），直线AB的方程为y=k（x-1）
则

yA2=4xA(1) yB2=4xB(2)

（1）-（2）得yA+yB=

4

k

，即yM=

2

k

，
代入方程y=k（x-1），解得xM=

2

k2

+1．  所以点M的坐标为(

2

k2

+1 ， 

2

k

)．
同理可得：N的坐标为（2k²+1，-2k）．    直线MN的斜率为kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k

1-k2

，
方程为；y+2k=

k

1-k2

(x-2k2-1)，整理得y（1-k²）=k（x-3），
显然，不论k为何值，（3，0）均满足方程，所以直线MN恒过定点R（3，0）．

点评：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线过定点问题，属于难题．