Question

20．已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若△A F₁F₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可得：正三角形的边长为2c，所以b=$\sqrt{3}$c，可得a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$=2c，进而根据a与c的关系求出离心率．

解答 解：因为以F₁F₂为边作正三角形，
所以正三角形的边长为2c，
又因为正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，
所以b=$\sqrt{3}$c，
所以a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$=2c，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．