Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为

1

2

，对称轴为坐标轴，且经过点（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得

MA

=

1

2

AB

，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意设出椭圆E的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点（1，

3

2

），待定系数法求出椭圆的方程．
 （Ⅱ）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再利用OM⊥ON 及

MA

=

1

2

AB

，
通过

OA

•

OB

=0，解方程求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆E的方程为

x

a2

2+

y

b2

2=1(a＞b＞0)，
∵

c

a

=

1

2

，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，∵椭圆经过点（1，

3

2

），
∴椭圆的方程为 

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）记A、B 两点坐标分别为A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

 消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞

1

4

，
由韦达定理 x1 +x2=

16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，∵原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，即

OM

•

ON

=0，∵

MN

=

1

2

AB

，M在OA上，N在OB上，
∴

OA

•

OB

=0，又

OA

=（x₁，y₁ ），

OB

=（x₂，y₂ ），
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）

4

4k2+3

-2k

16k

4k2+3

+4=0．
∴k²=

4

3

＞

1

2

，∴k=±

2 3

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，一元二次方程根与系数的关系，以及两个向量坐标形式的运算．