设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果S2n<3,求q的取值范围
-1<q<0或0<q<
∵a1·a2=-q,a1=2,a2≠0,
∴q≠0,a2=-,
∵an·an+1=-qn,an+1·an+2=-qn+1?
两式相除,得,即an+2=q·an
于是,a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想:a2n+1=-qn(n=1,2,3,…)
综合①②,猜想通项公式为an=
下证:(1)当n=1,2时猜想成立
(2)设n=2k-1时,a2k-1=2·qk-1则n=2k+1时,由于a2k+1=q·a2k-1?
∴a2k+1=2·qk即n=2k-1成立.
可推知n=2k+1也成立.
设n=2k时,a2k=-qk,则n=2k+2时,由于a2k+2=q·a2k?,
所以a2k+2=-qk+1,这说明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立.
综上所述,对一切自然数n,猜想都成立.
这样所求通项公式为an=
S2n=(a1+a3…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1?)- (q+q2+…+qn)
由于|q|<1,∴=
依题意知<3,并注意1-q>0,|q|<1解得-1<q<0或0<q<
科目:高中数学 来源: 题型:
1 | 6 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
x |
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省菏泽市高三5月高考冲刺题理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.
【解析】第一问当时,,则。
依题意得:,即 解得
第二问当时,,令得,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设,则,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
(Ⅰ)当时,,则。
依题意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当时,,令得
当变化时,的变化情况如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
又,,。∴在上的最大值为2.
②当时, .当时, ,最大值为0;
当时, 在上单调递增。∴在最大值为。
综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;
当时,即时,在区间上的最大值为。
(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设,则,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若,则代入(*)式得:
即,而此方程无解,因此。此时,
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,则
∴在上单调递增, ∵ ∴,∴的取值范围是。
∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。
因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上
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