Question

用1，2，3，4，5这五个数字组成数字不重复的五位数，由这些五位数构成集合M，我们把千位数字比万位数字和百位数字都小，且十位数字比百位数字和个位数字都小的五位数称为“五位凹数”例如：21435就是一个五位凹数．
（1）求从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率．
（2）设集合M中的“五位凹数”的十位数字为X，求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）求出组成数字不重复的五位数共有5!=120个，再对“五位凹数”，可考虑千位分别为3，2，1，再考虑十位，运用列举法，即可得到共有16个，即可得到所求的概率；
（2）由（1）可知，X=1，2，3．通过（1）即可得到P（X=1）=

1

2

，P（X=2）=

3

8

，P（X=3）=

1

8

，再由数学期望公式，即可得到．

解答： 解：（1）用1，2，3，4，5这五个数字组成数字不重复的五位数，
共有5!=120个，
对于“五位凹数”，可考虑千位：若千位为3，百、万位排4，5，则十位为1，则有2个；
若千位为2，百、万位排3，4 或3，5或4，5，则十位即为1，则有2+2+2=6个；
若千位为1，百、万位不排2，3，排2，4，则十位排3，有1个；
百、万位排2，5，则十位排3，有1个；
百、万位排3，4，或3，5或4，5，则十位排2，则有2+2+2=6个；
故共有这样的“五位凹数”2+6+1+1+6=16个．
则有从集合M中随机抽取一个数恰是“五位凹数”的概率为：

16

120

=

2

15

；
（2）由（1）可知，X=1，2，3．
且有P（X=1）=

2+6

16

=

1

2

，
P（X=2）=

6

16

=

3

8

，
P（X=3）=

2

16

=

1

8

，
则X的数学期望是E（X）=1×

1

2

+2×

3

8

+3×

1

8

=

13

8

．

点评：本题考查排列组合及概率的应用题，考查两个计数原理和运用，考查古典概率和离散型随机变量的数学期望的求法，注意列举法的完整性，属于中档题和易错题．