Question

某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）（p＜q）表示，规则如下：若编号为k的同学看到像为（p，q），则编号为k+1的同学看到像为（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N^*）．已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为n的同学看到的像为

(

n2-n+10

2

，

n2+n+10

2

)

．

Answer 1

分析：由题意规律，编号为2的同学看到的像是（6，8）；编号为3的同学看到的像是（8，11）．设编号为n的同学看到的像是（b_n，a_n），则b₁=5，a₁=6，当n≥2时，b_n=a_n-1．由此结合题意可求出编号为n的同学看到的像．

解答：解：由题意规律，编号为2的同学看到的像是（6，8）；
编号为3的同学看到的像是（8，11）．
再设编号为n的同学看到的像是（b_n，a_n），则b₁=5，a₁=6，
当n≥2时，b_n=a_n-1．
由题意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+3+…+n=

(n-1)(2+n)

2

．
a_n=

(n-1)(2+n)

2

+6=

n2+n+10

2

，
b_n=a_n-n=

n2-n+10

2

．
经检验n=1时，上式也成立．
∴编号为n的同学看到的像是(

n2-n+10

2

，

n2+n+10

2

)．
故答案为：(

n2-n+10

2

，

n2+n+10

2

)．

点评：本题以QQ作为背景、以数字哈哈镜面游戏规则形式给出信息，考查学生阅读信息、搜集信息、加工信息的能力．考查灵活运用数列知识分析问题与解决问题的能力．