精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA+cos2$\frac{B+C}{2}$=1,D为BC上一点,且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.
(1)求sinA的值;
(2)若a=4$\sqrt{2}$,b=5,求AD的长.

分析 (1)利用降幂公式,三角形内角和定理,诱导公式化简已知可得5sin2A-4sinA=0,结合范围A∈(0,π),即可解得sinA的值.
(2)由余弦定理可得c2-6c-7=0,解得c的值,利用平面向量的运算可求$\overrightarrow{AD}$2的值,进而可求AD的值.

解答 解:(1)∵sinA+cos2$\frac{B+C}{2}$=1,
∴sinA+$\frac{1+cos(B+C)}{2}$=1,即2sinA-cosA=1,…2分
∴(2sinA-1)2=cos2A,即5sin2A-4sinA=0,
∵A∈(0,π),
∴sinA>0,
∴sinA=$\frac{4}{5}$,cosA=$\frac{3}{5}$…6分
(2)∵a=4$\sqrt{2}$,b=5,cosA=$\frac{3}{5}$,
∴由余弦定理可得:32=25+c2-2×5c×$\frac{3}{5}$,即:c2-6c-7=0,解得:c=7,…10分
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$,
∴$\overrightarrow{AD}$2=$\frac{{c}^{2}}{16}$+$\frac{9{b}^{2}}{16}$+$\frac{3}{8}$bccosA=$\frac{49}{16}$+$\frac{9}{16}×25$+$\frac{3}{8}×7×5×\frac{3}{5}$=25,…12分
∴AD=5…14分

点评 本题主要考查了降幂公式,三角形内角和定理,诱导公式,余弦定理,平面向量的运算在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为45°,若E是PB的中点,则异面直线DE与PA所成角的余弦值为(  )
A.$\frac{{3\sqrt{10}}}{20}$B.$\frac{{\sqrt{10}}}{20}$C.$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$D.$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.已知集合A={x|0<x<2},B={x|x2-1≤0},那么A∪B=(  )
A.{x|0<x≤1}B.{x|-1≤x<2}C.{x|-1≤x<0}D.{x|1≤x<2}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

9.设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x},0≤x≤a}\\{lo{g}_{3}x,x>a}\end{array}\right.$,其中a>0
①若a=3,则f[f(9)]=$\sqrt{2}$;
②若函数y=f(x)-2有两个零点,则a的取值范围是[4,9).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.设$f(x)={sin^2}x-\sqrt{3}cosxcos({x+\frac{π}{2}})$,则f(x)在$[{0,\frac{π}{2}}]$上的单调递增区间为[0,$\frac{π}{3}$].

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知变换T将平面上的点$({1,\frac{1}{2}}),({0,1})$分别变换为点$({\frac{9}{4},-2}),({-\frac{3}{2},4})$.设变换T对应的矩阵为M.
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的特征值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.设a=($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{1}{3}}$,b=($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{2}{3}}$,c=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{3}$,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.已知等差数列{an}中,a3=9,a8=29.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式;
(2)记数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项和为Tn,求Tn的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

20.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;(a>b>0)$的右焦点为F(1,0),离心率为$\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过F且斜率为1的直线交椭圆于M,N两点,P是直线x=4上任意一点.求证:直线PM,PF,PN的斜率成等差数列.

查看答案和解析>>

同步练习册答案