Question

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=（2b-c，cosC），

.

n

=（a，cosA），且

m

∥

.

n

．
（1）求角A的大小；
（2）当

π

6

＜B＜

π

2

时，求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行的充要条件列式：（2b-c）cosA=acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2sinBcosA=sin（A+C），最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=

1

2

，从而得到角A的大小；
（2）将函数用降次公式与两角差的余弦公式展开，化简整理得y=1+sin（2B-

π

6

），结合A=

π

3

讨论锐角B的范围，从而得到2B-

π

6

的取值范围，由此不难得到函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

解答：解：（1）∵

m

=（2b-c，cosC），

.

n

=（a，cosA），且

m

∥

.

n

        
∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分）
化简，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
∵A+B+C=π，
∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分）
∵在锐角三角形ABC中，sinB＞0
∴两边约去sinB，得cosA=

1

2

，
结合A是三角形的内角，得A=

π

3

…（6分）
（2）∵锐角三角形ABC中，A=

π

3

，∴

π

6

＜B＜

π

2

…（7分）
∴y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin（2B-

π

6

）…（9分）
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，可得

3

2

＜y≤2
∴函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域为（

3

2

，2]．…（12分）

点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．