Question

（2011•嘉定区一模）已知函数f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；
（3）若a=4，证明：方程f（x）+

4

x

=0有两个不同的正数解．

Answer 1

分析：（1）a=0时，f（x）是奇函数；a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，函数f（x）图象的对称轴为直线x=

a

2

，利用a的不同取值进行分类讨论，能求出m（a）．
（3）若a=4，则x＞0时，f（x）=x2-4x+

4

x

=0，方程可化为

4

x

=-x2+4x．令g(x)=

4

x

，h（x）=-x²+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象，数形结合能证明方程f（x）+

4

x

=0有两个不同的正数解．

解答：解：（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；…（2分）
a≠0时，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，
函数f（x）图象的对称轴为直线x=

a

2

．…（1分）
当

a

2

＜0，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，
所以m（a）=f（0）=0；（1分）
当0≤

a

2

≤2，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0，

a

2

]上是减函数，在[

a

2

，2]上是增函数，
所以m（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

；…（1分）
当

a

2

＞2，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，
所以m（a）=f（2）=4-2a．…（1分）
综上，m（a）=

0，a＜0 - a2 4 ，0≤a≤4 4-2a，a＞4

．…（2分）
（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）=x2-4x+

4

x

=0，方程可化为x2-4x+

4

x

=0，
即

4

x

=-x2+4x．…（2分）
令g(x)=

4

x

，h（x）=-x²+4x，
在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．…（2分）
因为g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即当x=2时，
函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．…（3分）
所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．
即方程f（x）+

4

x

=0有两个不同的正数解．…（1分）

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数最小值的求法，证明方程有两个不同的正数解．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论法和数形结合思想的灵活运用．