Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，当n≥2时，a_n=f（a_n-1）
（1）求a_n；
（2）若，若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求．

Answer 1

解：（1）∵a_n=f（a_n-1）
∴a_n²+1=2（a_n-1²+1）
∴{a_n²+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n²+1=2ⁿ
∴
（2）∵
∴
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=
∴
分析：（1）根据a_n=f（a_n-1），可得a_n²+1=2（a_n-1²+1），从而可知{a_n²+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故可求a_n；
（2）由（1）可得，从而S_n=b₁+b₂+…+b_n=，故可求极限．
点评：本题以函数为载体，考查构造法求数列的通项，考查叠加法求和，考查了数列的极限，综合性强．