Question

20．已知函数f（x）=x+$\frac{k}{x}$，其中k为常数，f（1）=5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）求证：f（x）在区间（0，2）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=5可得k的方程，解方程可得k值，可得解析式；
（2）函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，结合奇函数的定义可判；
（3）任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，作出证明f（x₁）-f（x₂）＞0，由单调性的定义可判．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{k}{x}$，f（1）=5，
∴1+k=5，解得k=4，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x+$\frac{4}{x}$；
（2）∵函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（-x）=（-x）+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，2）上是减函数．

点评 本题考查函数解析式的求解方法，涉及函数的奇偶性和单调性的证明，属中档题．