Question

【题目】设函数 f(x)＝，其中 c>a>0，c>b>0.若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，给出下列命题：

①对于x∈(－∞，1)，都有 f(x)>0；

②存在 x>0，使，，不能构成一个三角形的三边长；

③若△ABC 为钝角三角形，则存在 x∈(1,2)，使 f(x)＝0.

则其中所有正确结论的序号是__________．

Answer 1

【答案】①②③.

【解析】

①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明;②由于涉及不可能问题，因此可以举反例进行判断;③利用函数零点的存在性定理进行判断.

①因为 a，b，c 是△ABC 的三条边长，所以 a＋b>c，因为 c>a>0，c>b>0，所以

,，当 x∈(－∞，1)时，f(x)＝＝

，故①正确；

②令 a＝2，b＝3，c＝4，则 a，b，c 可以构成三角形，但＝4，＝9，＝16 却不能 构成三角形，所以②正确；

③已知 c>a>0，c>b>0，若△ABC 为钝角三角形，则 ＋－<0，因为 f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝＋－<0，根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在 x∈ (1,2)，使 f(x)＝0，故③正确.

故答案为：①②③.