Question

已知函数f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象，并求不等式f（x）＜0的解集；
（3）若函数f（x）在区间[-1，|a|-2]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，得到-x＞0，代入x＞0时的解析式化简可得x＜0时的解析式，又定义在实数集上的奇函数有
f（0）=0，所以分段函数f（x）的解析式可求；
（2）利用二次函数的顶点及与x轴的交点作出简图，然后由图象得到不等式f（x）＜0的解集；
（3）借助于二次函数的图象，分析得到区间右端点的范围，解绝对值得不等式得到a的取值范围．

解答：解：（1）当 x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+2（-x）=x²+2x；
又函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0
∴f（x）的解析式为：f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0(x=0) x2+2x(x＜0)

；
（2）函数f（x）的图象如图所示，
根据f（x）的图象可知，不等式f（x）＜0的解集是：{x|-2＜x＜0，或x＞2}；
（3）由图象可知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在区间[-1，|a|-2]上单调递增，
则只需：-1＜|a|-2≤1，解得-3≤a＜-1，或1＜a≤3，
∴a的取值范围是：{a|-3≤a＜-1，或1＜a≤3}．

点评：本题考查了二次函数的图象，考查了二次函数的性质，数形结合有助于我们的解题，形象直观，此题是中档题．