Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+m，x≥m}\\{-x+3m，x＜m}\end{array}\right.$．
（1）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若f（x）≥2对一切x∈R恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对分段函数分类讨论，得出f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;x≥0\\;}\\{-x\\;x＜0}\end{array}\right.$=f（x），判断为偶函数；
（2）对分段函数分类求恒成立，把恒成立问题转换为最值问题进行求解即可．

解答 （1）证明：当m=0时，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;x≥0}\\{-x\\;x＜0}\end{array}\right.$，
设?x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）=x，
设?x＜0，则-x＞0，
f（-x）=-x，f（0）=0，
∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;x≥0\\;}\\{-x\\;x＜0}\end{array}\right.$=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）解：当x≥m时，
x+m≥2恒成立，
∴2m≥2，
∴m≥1；
当x＜m时，
-x+3m≥2恒成立，
∴2m≥2，
∴m≥1；
故m的范围为m≥1．

点评 考查了分段函数的奇偶性的判断和恒成立问题，难点是对分段函数的分类讨论．